Ya vimos que todo número real positivo tiene una raíz cuadrada. Los números negativos, en cambio, no tienen una raíz real. Uno de los grandes avances de la matemática se produjo al inventar raíces cuadradas de los números negativos. Esto lo hicieron fundamentalmente Girolamo Cardano y Lodovico Ferrari alrededor de 1540. No obstante, esto significaba un salto de abstracción que no todos los matemáticos de la época estaban en condiciones de dar. La definición moderna de los números complejos es muy posterior, y se debe a William Rowan Hamilton, en el año 1833.
En el transcurso de la historia, los números surgieron naturalmente para contar y, a la vez, para ordenar. Por este motivo, el primer conjunto de números que aparece es el de los números naturales. Es razonable comenzar cualquier estudio de los números con ellos, porque los números naturales están en la base de todos los otros conjuntos. Sin embargo, con el tiempo aparecieron nuevos usos para los números y, con los usos, nuevos números.
Los números naturales se pueden sumar y multiplicar. Y, a veces, se pueden restar. Sin embargo, no se puede restar a un número natural otro mayor, porque el resultado ya no es un número natural. Es así como, para poder restar, se necesitan el cero y los números negativos. A la humanidad le tomó siglos aceptar estos nuevos números, pese a que pasan a tener un sentido muy concreto cuando se los usa, por ejemplo, para expresar deudas. Hoy en día, los números negativos son de uso cotidiano. Los naturales dan lugar así a los enteros. Con los enteros se puede multiplicar, sumar y restar. Con los enteros también se pueden hacer divisiones, siempre que se acepte que las divisiones pueden tener resto. Sin embargo, los números enteros no permiten divisiones si no se está dispuesto a tener resto. Si trabajamos en geometría, incluso si se adoptan unidades de medida tales que las cantidades a medir sean enteras, poco se podrá hacer si no se utilizan fracciones, es decir sin introducir los números racionales. Pero pronto se ve que si se quiere medir distancias, tampoco alcanza con números racionales.
Por el Teorema de Pitágoras, la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1 metro, mide √2 metros. Y este número, no es racional. Hacen falta entonces los números reales. Y, a veces, tampoco alcanza con los enteros, los racionales o los reales. Por ejemplo, la ecuación
Hoy en día, no sólo se usan para resolver este tipo de ecuaciones. Las ecuaciones de James Clerk Maxwell, por ejemplo, que explican los campos electromagnéticos, precisan de los números complejos. Los campos electromagnéticos tienen dos componentes: la eléctrica y la magnética; por lo tanto, es necesario un par de números reales para definirlos. Además, la aplicación de dos campos electromagnéticos en serie cumple las mismas propiedades que la multiplicación de los dos complejos que definen a cada uno de estos campos.
Resultan un modelo adecuado en Física para la electrónica, ya que el estado de un circuito se define por dos números reales: el voltaje y la corriente.
Los fractales son figuras autosemejantes. Algunos pueden generarse por medio de funciones, cuyo dominio son los números complejos.
En la técnica en general (Ingenieria, Física, etc.) la resolución de un problema de la realidad implica las siguientes etapas:
1) Representación de la realidad a través de elementos básicos ideales (los modelos) que simulan con razonable aproximación el comportamiento de los componentes del sistema a estudiar.
2) Traducción a ecuaciones de las interacciones entre los componentes del sistema.
3) Resolución matemática de esas ecuaciones.
4) Interpretación de los resultados obtenidos, visualizados desde la óptica de la realidad.
En muchos casos de la técnica, los números complejos son una poderosa herramienta para simplificar la resolución matemática de las ecuaciones.
